Sannhetstabell

Hva er sannhetstabell:

Sannhetstabell eller sannhetstabell er et matematisk verktøy som er mye brukt innen logisk resonnement. Formålet er å verifisere den logiske gyldigheten av et sammensatt proposisjon (argument dannet av to eller flere enkle proposisjoner).

Eksempler på sammensatte proposisjoner:

John er høy og Maria er kort.
Pedro er høy eller Joana er blond.
Hvis Pedro er høy, så er Joana rød.

Hver av proposisjonene som er sammensatt ovenfor, dannes av to enkle proposisjoner forbundet med forbindelsene i fet skrift. Hver enkelt proposisjon kan enten være sann eller falsk, og dette vil direkte innebære den logiske verdien av sammensatt proposisjon. Hvis vi antar uttrykket " John er høy og Maria er lav ", vil mulige verdsettelser av denne utsagnet være:

Hvis John er høy og Maria er lav, er uttrykket "John høy og Maria er lav", er SANT.
Hvis John er høy og Maria ikke er lav, er uttrykket "John høy og Maria er lav", er FALSK.
Hvis John ikke er høy og Maria er lav, er uttrykket "John høy og Maria er lav", er FALSK.
Hvis John ikke er høy og Maria ikke er lav, er uttrykket "John høy og Mary er lav", FALSK.

Sanntabellen skematiserer denne samme resonnementet (se Konjunksjonens emne nedenfor) mer direkte. I tillegg kan sannhetstabellreglene brukes uansett antall proposisjoner i setningen .

Hvordan virker det?

Først setter du spørsmålsforslagene inn i symboler som brukes i logikken. Den universelt brukte symbollisten er:

symbol	Logisk drift	som betyr	eksempel
p	.	Forslag 1	p = john er høy.
q	.	Forslag 2	q = Maria er lav.
~	fornektelse	ikke gjør det	Hvis John er høy, er " ~ p " FALSK.
^	sammenheng	og	p ^ q = John er høy og Mary er lav.
v	disjunksjon	eller	p v q = John er høy eller Mary er lav.
→	betinget	i så fall	p → q = Hvis John er høy, er Mary lav.
↔	Biconditional	hvis og bare hvis	p ↔ q = John er høy hvis og bare hvis Mary er lav.

Deretter legges et bord med alle muligheter for verdsettelse av et sammensatt proposisjon, erstatter bekreftelsene med symboler. Det er verdt å avklare at i tilfeller der det er mer enn to proposisjoner, kan de symboliseres av bokstavene r, s og så videre.

Til slutt blir den logiske operasjonen som er definert av det viste forbindelsen påført. Ifølge listen ovenfor kan disse operasjonene være: fornektelse, sammenheng, disjeksjon, betinget og betingelsesmessig.

fornektelse

Denial er symbolisert av ~. Den logiske driften av fornektelse er den enkleste og utelukker ofte bruken av sannhetstabellen. Etter samme eksempel, hvis John er høyt (p) å si at John ikke er høy (~ p) er FALSK, og omvendt.

sammenheng

Sammenhengen er symbolisert av ^ . Eksemplet "John er høy og Maria er lav" vil bli symbolisert av "p ^ q" og sannhetstabellen vil være:

Sammenhengen foreslår en ide om akkumulering, så hvis en av de enkle proposisjonene er falsk, er det umulig for sammensatte proposisjoner å være sanne.

Konklusjon : Konjunktiv sammensatte proposisjoner (som inneholder bindende e ) vil bare være sant når alle elementene er sanne.

eksempel:

Paulo, Renato og Tulio er snille og Caroline er morsom. - Hvis Paulo, Renato eller Tulio ikke er snille, eller Carolina ikke er morsomt, vil forslaget være FALSK. Det er nødvendig at all informasjonen er sant, slik at sammensatte proposisjoner er SANT.

disjunksjon

Disjunction er symbolisert av v . Bytte forbindelsen fra eksempelet ovenfor til, eller vi vil ha "John er høy eller Mary er lav". I dette tilfellet vil setningen bli symbolisert av "p v q" og sannhetstabellen vil være:

Disjunctionen innebærer en ide om veksling, så det er nok at en av de enkle proposisjonene er sanne, slik at forbindelsen også er.

Konklusjon : Disjunktive sammensatte proposisjoner (som inneholder eller binder) vil bare være falske når alle elementene er falske.

eksempel:

Min mor, min far eller min onkel vil gi meg en gave. - For utsagnet er SANT, er det nok at bare en mellom mor, far eller onkel gir nåtiden. Forslaget vil bare være feil hvis ingen av dem gir det.

betinget

Den betingede er symbolisert av →. Det uttrykkes av forbindelsene selv og da, som forbinder de enkle proposisjonene i en årsakssammenheng. Eksemplet "Hvis Paulo er Carioca, da er han brasiliansk" blir "p → q" og sannhetstabellen vil være:

Conditionals har en antecedent og en følgesvennende proposisjon , adskilt av forbindelsen da . I analysen av betingelsene er det nødvendig å vurdere de tilfeller hvor forslaget kan være mulig, vurderer forholdet mellom implikasjoner mellom antecedent og følgelig.

Konklusjon : Forholdsmessige sammensatte proposisjoner (som inneholder forbindelsene hvis og bare) vil bare være falske hvis det første proposisjonen er sant og det andre proposisjonen er feil.

eksempel:

Hvis Paulo er en Carioca, så er han brasiliansk. - For at dette forslaget skal betraktes som SANT, er det nødvendig å vurdere tilfellene der det er mulig. I følge sannhetstabellen ovenfor har vi:

Paulo er brasiliansk / Paulo er brasiliansk = MULIG
Paulo er carioca / Paulo er ikke brasiliansk = umulig
Paulo er ikke fra Carioca / Paulo er brasiliansk = MULIG
Paulo er ikke en Carioca / Paulo er ikke en brasiliansk = MULIG

Biconditional

Biconditional er symbolisert av ↔. Det leses gjennom forbindelsene hvis og bare hvis de forbinder de enkle proposisjonene med en ekvivalensrelasjon. Eksemplet "John er glad hvis og bare hvis Maria smiler." blir "p ↔ q" og sannhetstabellen vil være:

Biconditional antyder en ide om gjensidig avhengighet. Som navnet selv demonstrerer, er den betingede sammensetningen av to betingelser: en som går fra p til q (p → q) og en annen i motsatt retning (q → p).

Konklusjon : Forslag som består biconditional (som inneholder forbindelsene hvis og bare hvis ) vil bare være sant når alle proposisjoner er sanne, eller alle proposisjoner er falske.

eksempel:

John er glad hvis og bare hvis Maria smiler. - Det betyr at:

Hvis John er glad, Maria smiler, og hvis Maria smiler, er John glad = SANT
Hvis João ikke er glad, ler Maria ikke, og hvis Maria ikke smiler, er João ikke glad = SANT
Hvis John er glad, ler Maria ikke = FALSK
Hvis John ikke er glad, smiler Maria = FALSK

Generell oversikt

Det er vanlig for lærde av sannhetstabellen å huske konklusjonene av hver av de logiske operasjonene. For å spare tid på problemløsing, vær alltid oppmerksom på at:

Konjunktive Proposisjoner: De vil bare være sant når alle elementene er sanne.
Disjunktive Proposisjoner: De vil bare være falske når alle elementene er falske.
Betingede forslag: De vil bare være falske når det første forslaget er sant og det andre er feil.
Bicondicional Propositions: De vil bare være sant når alle elementene er sanne, eller alle elementene er falske.